Convex 의 정의와 설명

Convex set, convex combination, convex hull, convex function 이 각각 무엇인지 살펴보겠습니다.

Convex set 이란?

Convex set(좌) 과 Non convex set(우)

이미지 출처:en.wikipedia.org/wiki/Convex_set

어떤 집합안에서 2개의 지점을 선으로 연결했을 때, 그 선을 이루는 요소들이 그 집합 안에 속해 있다면 그 집합을 Convex set(볼록 집합) 이라고 합니다.

이를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

여기서 혼동될 수 있는 점은, 예를 들어 농구공처럼 속이 텅빈 set 은 convex set 이 아니지만, 물풍선처럼 속이 꽉찬 set 은 convex set 이라는 것입니다.

이런 x, y는 convex set 이 아니지만

이런 x, y는 convex set 입니다.

Convex combination 이란?

출처: en.wikipedia.org/wiki/Convex_combination

Convex combination 은 위 식을 만족하는 점 p 들을 말합니다.

말로 풀어서 설명하면, 주어진 지점을 서로 연결한 도형 안에 존재하는 지점들입니다.

Convex hull 이란?

Convex hull 은 아래 4가지 방법으로 정의할 수 있습니다. 내용을 이해하고나면 그 말이 그 말입니다.

1. 주어진 집합 X 를 포함하는(X로 구성할 수 있는) minimal convex set

2. 주어진 집합 X 를 포함하는 모든 convex set 의 교집합

3. X 의 지점으로 구성할 수 있는 모든 Convex combination 의 집합

4. X 에 속한 꼭지점으로 구성할 수 있는 모든 Simplex(링크) 의 집합

출처: https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_hull

왼쪽의 이미지는 빨간색 선에 포함되는 지점으로 구성할 수 있는 Convex hull 이고, 오른쪽 이미지는 검정색 꼭지점들로 구성할 수 있는 Convex hull 입니다.

Convex function 이란?

이미지 출처: https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_function

위 그림처럼 구간 [x_1, x_2] 에 대해 함수값 f(x_1), f(x_2) 를 연결한 직선(보라색)보다 구간 안의 함수 값이 더 작은 함수일 때, 구간 [x_1, x_2]에 대하여 f(x) 는 convex function 입니다. 이를 더 일반화하여 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.