Linear Programming 정의, Neighborhoods 정의, Minimum 정의
이 글은 제가 공부한 내용을 정리하는 글입니다. 잘못된 내용이 있을 수 있으며, 잘못된 내용을 찾으셨다면 리플로 알려주시길 부탁드립니다. 감사합니다.
Numerical Optimization, 즉 수치최적화를 공부하고 그 내용을 정리하고자 합니다.
출처: https://light-tree.tistory.com/154 [All about]
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Linear Programming
선형 계획법(linear programming 은 다음과 같이 정의할 수 있습니다.
A : q x n matrix
c : column vector of length n
b : column vector of length q.
x : column vector of length n, decision variables.
1) Feasible solution(가능해)는 Ax<=b 를 만족하는 벡터 x 들을 의미합니다.
2) Feasible region(가능해영역)은 R^n space 에 속하는 모든 가능해의 부분집합을 의미합니다.
Neighborhoods
Minimum 에 대해 정의하기 위해서 먼저 Neighborhoods 의 정의를 알아야 합니다.
출처: https://en.wikipedia.org/wiki/Neighbourhood_(mathematics)
Neighborhoods 를 수식으로 정의하자면 다음과 같습니다.
이 글을 이해하고 보고 있으신 분이라면 엡실론이 1e-30 처럼 충분히 작은 양수를 의미하고 있음을 아시리라 생각합니다.
Nbh(p, ε) 은 p 로부터 ε 만큼 떨어진 거리의 모든 점들을 의미한다고 생각하면 되겠습니다.
Minimum
minimum 은 작게는 2가지, 크게는 총 3가지로 정의됩니다.
1) Local minimum and Global minimum
출처: https://en.wikipedia.org/wiki/Maxima_and_minima
local minimum 과 global minimum 은 별도의 설명 없이 그림만 보고도 쉽게 이해할 수 있으리라 생각합니다.
2) Strong local minimum
Strong local minimum 의 정의를 한글로 풀어서 설명하자면,
a) F(x) 가 Nbh(x*, δ) 에 정의되어 있다. → F(x) 가 x* 근처의 영역에서 함수값을 가진다.
b) Nbh(x*, δ) 에 속한 y≠x* 를 만족하는 모든 x* 근처의 값 y 에 대하여 F(x*) < F(y) 이다.
위 조건을 만족하는 양수 δ 가 존재한다면 x* 는 Strong local minimum 이다.
3) Weak local minimum
정의에 있어서 Strong local minimum 과의 차이는 b) 항목에만 있습니다.
이 차이에 대해서 좀 더 깊이 생각해보면, Strong local minimum 은 주어진 interval(이 글에서는 Nbh(x*, δ)) 안에 x* 가 유일한 minimum 임을 의미합니다. 예를 들어 F(x) 가 sin 함수이고 interval 이 4π 라면 local minimum point 가 여러개가 되고, 이 경우의 local minimum 들이 weak local minimum 인 것입니다.
4) Global minimum
모든 F(x) 의 값 중 F(x*) 가 가장 낮은 값이라면 x* 가 global minimum 이 됩니다.
